女大一，抱金雞； 女大二，銀滿罐； 女大三，抱金磚； 女大四，生兒子； 女大五，賽老母； 女大六，樂不夠； 女大七，笑嘻嘻； 女大八，準發家； 女大九，樣樣有； 女大十，樣樣值。

抱一塊

水

朋友，我不是賣藥的

1、化為一個三角函數。如：f(x)=sinx＋√3cosx=2sin(x＋π/3)最大值是2，最小值是－22、利用換元法化為二次函數。如：f(x)=cosx＋cos2x =cosx＋2cos2x－1 =2t2＋t－1 【其中t=cosx∈[－1，1]】則f(x)的最大值是當t=cosx=1時取得的，是2，最小值是當t=cosx=－1/4時取得的，是－9/8

三角函數最值是中學數學的一個重要內容,加強這一內容的教學有助于學生進一步掌握已經學過的三角知識,溝通三角,代數,幾何之間的聯系,培養學生的思維能力. 本文介紹三角函數最值問題的一些常見類型和解題方法. 一,利用三角函數的有界性 利用三角函數的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1來求三角函數的最值. [例1]a,b是不相等的正數. 求y=的最大值和最小值. 解:y是正值,故使y2達到最大(或最小)的x值也使y達到最大(或最小). y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x =a+b+ ∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1 ∴當sin2x=±1時,即x=(k∈z)時,y有最大值; 當sinx=0時,即x= (k∈z)時,y有最小值+. 二,利用三角函數的增減性 如果f(x)在[α,β]上是增函數,則f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是減函數,則f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β). [例2]在0≤x≤條件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值. 解:利用二倍角余弦公式的變形公式,有 y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1 =2 (cos2xcos-sin2xsin)-1 =2cos(2x+)-1 ∵0≤x≤,≤2x+≤ cos(2x+)在[0,)上是減函數 故當x=0時有最大值 當x=時有最小值-1 cos(2x+)在[,]上是增函數 故當x=時,有最小值-1 當x=時,有最大值- 綜上所述,當x=0時,ymax=1 當x=時,ymin=-2-1 三,換元法 利用變量代換,我們可把三角函數最值問題化成代數函數最值問題求解. [例3]求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值. 解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x =1+2sinxcosx-sin2xcos2x 令t=sin2x ∴-≤t≤ ① f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2 ② 在①的范圍內求②的最值 當t=,即x=kπ+(k∈z)時,f(x)max= 當t=-,即x=kπ+(k∈z)時,f(x)min=- 附:求三角函數最值時應注意的問題 三角函數最值問題是三角函數性質的重要內容之一,也是會考,高考必考內容,在求解中欲達到準確,迅速,除熟練掌握三角公式外,還應注意以下幾點: 一,注意sinx,cosx自身的范圍 [例1]求函數y=cos2x-3sinx的最大值. 解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+ ∵-1≤sinx≤1, ∴當sinx=-1時,ymax=3 說明:解此題易忽視sinx∈[-1,1]這一范圍,認為sinx=-時,y有最大值,造成誤解. 二,注意條件中角的范圍 [例2]已知|x|≤,求函數y=cos2x+sinx的最小值. 解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+ ∵-≤x≤ ∴-≤sinx≤ ∴當sinx=-時 ymin=-(--)2+= 說明:解此題注意了條件|x|≤,使本題正確求解,否則認為sinx=-1時y有最小值,產生誤解. 三,注意題中字母(參數)的討論 [例3]求函數y=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值. 解:∵y=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2++a- ∴當0≤a≤2時,cosx=,ymax=+a- 當a>2時,cosx=1,ymax=a- 當a<0時,cosx=0,ymax=a- 說明:解此題注意到參數a的變化情形,并就其變化討論求解,否則認為cosx=時,y有最大值會產生誤解. 四,注意代換后參數的等價性 [例4]已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值,最小值. 解:設t=sinθ-cosθ=sin(θ-) ∴2sinθcosθ=1-t2 ∴y=-t2+t+1=-(t-)2+ 又∵t=sin(θ-),0≤θ≤π ∴-≤θ-≤ ∴-1≤t≤ 當t=時,ymax= 當t=-1時,ymin=-1 說明:此題在代換中,據θ范圍,確定了參數t∈[-1,],從而正確求解,若忽視這一點,會發生t=時有最大值而無最小值的結論. 1.y=asinx+bcosx型的函數 特點是含有正余弦函數,并且是一次式.解決此類問題的指導思想是把正,余弦函數轉化為只有一種三角函數.應用課本中現成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=. 例1.當-≤x≤時,函數f(x)=sinx+cosx的( d ) a,最大值是1,最小值是-1 b,最大值是1,最小值是- c,最大值是2,最小值是-2 d,最大值是2,最小值是-1 分析:解析式可化為f(x)=2sin(x+),再根據x的范圍來解即可. 2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數 特點是含有sinx, cosx的二次式,處理方式是降冪,再化為型1的形式來解. 例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值時的x的集合. 解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+) 當sin(2x+)=-1時,y取最小值2-,此時x的集合{x|x=kπ-π, k∈z}. 3.y=asin2x+bcosx+c型的函數 特點是含有sinx, cosx,并且其中一個是二次,處理方式是應用sin2x+cos2x=1,使函數式只含有一種三角函數,再應用換元法,轉化成二次函數來求解. 例3.求函數y=cos2x-2asinx-a(a為常數)的最大值m. 解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a, 令sinx=t,則y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1) (1) 若-a1時, 在t=-1時,取最大值m=a. (2) 若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1時,在t=-a時,取最大值m=a2+1-a. (3) 若-a>1,即a0, y2=4cos4sin2 =2·cos2·cos2·2sin2 所以0 注:本題的角和函數很難統一,并且還會出現次數太高的問題. 6.含有sinx與cosx的和與積型的函數式. 其特點是含有或經過化簡整理后出現sinx+cosx與sinxcosx的式子,處理方式是應用 (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 進行轉化,變成二次函數的問題. 例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值. 解:令sinx+cosx=t (-≤t≤),則1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1, 所以y=t2-1+t=(t+)2-, 根據二次函數的圖象,解出y的最大值是1+. 相信通過這一歸納整理,大家對有關三角函數最值的問題就不會陌生了.并且好多其它的求最值的問題可以通過代換轉化成三角求最值的問題.希望同學們在做有關的問題時結合上面的知識.

一次的，可以化成一般的三角函數SIN, COS TAN 根據圖象的來找最大值和最小值，（范圍）二次的可以用換元法，變成二次函數，再用頂點式，在取值范圍內找最大值和最小值， 還有就是換元變成對勾函數的形式都是要與圖象結合的