1. 埃爾米特插值

Hermite插值是利用未知函數f(x)在插值節點上的函數值及導數值來構造插值多項式的，其提法為：給定n+1個互異的節點x0,x1，……,xn上的函數值和導數值求一個2n+1次多項式H2n+1(x)滿足插值條件 H2n+1(xk)=yk H'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2，……，n ⒀ 如上求出的H2n+1(x）稱為2n+1次Hermite插值函數，它與被插函數一般有更好的密合度. ★基本思想 利用Lagrange插值函數的構造方法，先設定函數形式，再利用插值條件⒀求出插值函數.

2. 埃爾米特插值誤差估計式

前者是對后者的一種補充。

3. 埃爾米特插值余項

1、pchip：

分段三次 Hermite 插值多項式 (PCHIP）。

2、語法說明

（1）p = pchip(x,y,xq)

返回與 xq 中的查詢點對應的插值 p 的向量。p 的值由 x 和 y 的保形分段三次插值確定。

（2）pp = pchip(x,y)

返回一個分段多項式結構體以用于 ppval 和樣條實用工具 unmkpp。

輸入參數:

x:

樣本點，指定為一個向量。向量 x 指定提供數據 y 的點。x 的元素必須是唯一的。

y:

樣本點處的函數值，指定為數值向量、矩陣或數組。x 和 y 的長度必須相同。

如果 y 是矩陣或數組，則在獲取最后一個維度 y(:,…,:,j) 中的值時應使其匹配 x。在此情況下，y 的最后一個維度的長度必須與 x 相同。

xq:

查詢點，指定為一個向量。xq 中指定的點是 pchip 計算出的插值函數值 p 的 x 坐標。

輸出參數:

p:

查詢點位置的插值，以向量、矩陣或數組形式返回。

p 的大小取決于輸入的大小：

如果 y 為向量，則 p 是與 xq 長度相同的向量。

如果 y 具有 n 表示的兩個或更多維度，則 p 的大小為 [size(y,1) size(y,2) … size(y,n-1) length(xq)]。例如，如果 y 為矩陣，則 p 大小為 [size(y,1) length(xq)]。

pp:

分段多項式，以結構體形式返回。將此結構體與 ppval 函數結合使用可計算一個或多個查詢點處的插值多項式。

4. 埃爾米特插值公式

簡單點說

hermite插值是用一條曲線來逼近，最高次數可能高于三次

三次樣條插值是用連續的曲線來逼近，最高次數是三次

5. 埃爾米特插值應用

LAGRANGE適用于理論應用,HERMITE多用于計算,牛頓插值兩者皆可.帶導數的插值使插值函數更為密貼 ，優點明顯 。

實用中分段低次插值以低代價而獲得較好的收斂性質，特別像 三次樣條函數插值，是具有一階、二階導數的收斂性質，因而極受歡迎，廣為應用 。分段線性插值 光滑性差些,但是整體逼近F(X)比較好.

6. 埃爾米特插值多項式的余項

zeropointtheorem英[?zi?r?up?int?θi:?r?m]美[?z?rop??nt?θi?r?m][釋義]零點定理;[例句]ThispaperextendstheRolltheoremandwiththeresult,discussesthedistributionofzeropointintheLegenderandTchebycheffHermitemultinomials.推廣了Roll定理，并用該結果討論了Legender多項式和Tchebycheff-Hermite多項式零點分布。

7. 兩個典型的埃爾米特插值

插值法又稱“內插法”，是利用函數f (x)在某區間中插入若干點的函數值，作出適當的特定函數，在這些點上取已知值，在區間的其他點上用這特定函數的值作為函數f (x)的近似值，這種方法稱為插值法。如果這特定函數是多項式，就稱它為插值多項式。

1、Lagrange插值：

Lagrange插值是n次多項式插值，其成功地用構造插值基函數的 方法解決了求n次多項式插值函數問題；

★基本思想將待求的n次多項式插值函數pn(x）改寫成另一種表示方式，再利 用插值條件⑴確定其中的待定函數，從而求出插值多項式。

2、Newton插值：

Newton插值也是n次多項式插值，它提出另一種構造插值多項式的方法，與Lagrange插值相比，具有承襲性和易于變動節點的特點；

★基本思想將待求的n次插值多項式Pn（x）改寫為具有承襲性的形式，然后利用插值條件⑴確定Pn（x）的待定系數，以求出所要的插值函數。

3、Hermite插值：

Hermite插值是利用未知函數f(x）在插值節點上的函數值及導數值來構造插值多項式的，其提法為：給定n+1個互異的節點x0,x1，……,xn上的函數值和導數值

求一個2n+1次多項式H2n+1(x）滿足插值條件

H2n+1(xk)=yk

H'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2，……，n ⒀

如上求出的H2n+1(x）稱為2n+1次Hermite插值函數，它與被插函數

8. 埃爾米特插值基函數

厄米函數指的是在數學里，作用于一個有限維的內積空間，一個自伴算子(self-adjoint operator)等于自己的伴隨算子；等價地說，表達自伴算子的矩陣是埃爾米特矩陣。即厄米算符表達了一個厄米矩陣(Hermitian Matrix)。量子力學中，可以觀測的物理量要用厄米算符來表示。算符的厄米性不僅對算符有了很大的限制，而且對波函數也有一些限制。

9. 牛頓插值和埃爾米特插值

書上說(計算方法引論): LAGRANGE適用于理論應用,HERMITE多用于計算,牛頓插值兩者皆可.帶導數的插值使插值函數更為密貼 ，優點明顯 。

實用中分段低次插值以低代價而獲得較好的收斂性質，特別像 三次樣條函數插值，是具有一階、二階導數的收斂性質，因而極受歡迎，廣為應用 。分段線性插值 光滑性差些,但是整體逼近F(X)比較好. 汗,什么都還給老師了